El 90% de las personas fallan al resolverla ¿y tú?
El problema de Monty Hall es un problema probabilístico inspirado en el programa de televisión estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), emitido entre 1963 y 1986. La paradoja lleva este nombre en referencia al presentador de dicho programa.
Planteamiento
En el problema de Monty Hall, a un participante se le presentan tres puertas con la posibilidad de elegir una de ellas. Detrás de una de ellas hay un vehículo, en las otras dos, una cabra. Lo que deja al concursante con una probabilidad entre tres de ganar el automóvil. Después de que el concursante elija una de las tres puertas, el presentador abre una de las dos puertas restantes. Algo que hace sabiendo previamente que hay tras cada puerta.
Posteriormente, tiene dos opciones: 1) mantener la puerta de su elección o 2) cambiar su elección inicial.
Finalmente, se plantea la pregunta ¿es mejor para el concursante cambiar o mantener su elección? ¿Qué harías tú? Y ¿por qué?
Solución
Lo más sencillo seria pensar que daría lo mismo, ya que estas al 50% teniendo que elegir entre dos puertas. Y de hecho es lo que todo el mundo pensaba, hasta que apareció una mujer llamada Marilyn Vos Savant, famosa por ser la mujer con el cociente intelectual más alto del mundo y le dio otra perspectiva. Según Savant esta es la solución:
La probabilidad de elegir la puerta con el vehículo como premio es 1 de 3 (⅓). Mientras, las posibilidades de perder son de ⅔. Es decir, si mantiene su elección inicial mantiene ⅓ de probabilidades de acierto. Por otra parte, si cambia su elección la probabilidad de ganar el vehículo aumenta a ⅔. Por lo tanto, el problema de Monty Hall muestra que el participante debe cambiar de elección para maximizar sus probabilidades de escoger el coche. Sí, lo sabemos. WHAT???
Esta situación se puede observar en el siguiente diagrama de árbol. La probabilidad total se halla con la multiplicación de la probabilidad de cada segmento. Asimismo, al final se suman las probabilidades de acertar o no acertar cambiando de puerta. Por ejemplo, cuando el premio está en la puerta 1 y elegimos una diferente (2 o 3), en ambos casos se gana cambiando de opción. Por consiguiente, equivocándose la primera vez (que es la opción más probable) aumenta sus probabilidades de ganar cambiando de elección. Mientras, si elige mantener su opción inicial, las probabilidades de ganar son iguales que al principio: ⅓.
Si quieres entenderlo mejor, te dejamos este video donde el Doctor en física más famoso de YouTube nos lo explica de la mejor manera posible. No te lo pierdas.
Pero ¿por qué tendemos a pensar que mantener la primera opción es la respuesta correcta?
Muchas veces es fácil obviar que los sucesos no son independientes; Esto sucede por un fallo en la interpretación del planteamiento. En este caso, se ignora que la acción del moderador de abrir una puerta depende de la elección inicial del participante.
También dejamos pasar el hecho de que la acción del presentador cambia las probabilidades iniciales. Después de la apertura de la puerta, esa, tiene una probabilidad de 0 de contener el vehículo. Por tanto, el participante tiene ahora un 50% de probabilidades de elegir el coche o la cabra en las puertas restantes. Pero en el juego que estamos jugando el coche se colocó en inicio por ejemplo entre 100 puertas, y tu puerta teniendo una probabilidad 1/100, y el resto de puertas, como grupo, del 99/100, probabilidad que nunca se pierde y que «obliga» siempre a cambiar.
Recordemos que el juego debe ser aleatorio. Si el presentador pusiera siempre el coche en la puerta 1, el razonamiento anterior no serviría, pero entonces, sabedores, los sucesivos jugadores tendrían certeza al elegir. Ahora bien, ¿nos equivocaríamos si al principio del concurso, con 100 puertas, nos preguntaran … ¿qué prefiere usted elegir, una puerta o las otras 99 puertas ? Pues eso es lo que inadvertidamente está sucediendo.
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